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有趣的線性反饋移位寄存器(LFSR)

最近一直在研究信道編碼,發(fā)現(xiàn)在信道編碼里面有一個(gè)電路比較重要也比較有趣,那就是線性反饋移位寄存器LFSR,相信大家對(duì) LFSR電路也不陌生了,在通信領(lǐng)域lfsr有著很廣泛的應(yīng)用,比如說M序列,擾碼,信道編碼,密碼學(xué)這方面都有很廣泛的應(yīng)用,LFRS的結(jié)構(gòu)一般如下圖:

本文引用地址:http://www.eepw.com.cn/article/201609/303371.htm

其中他需要一個(gè)生成多項(xiàng)式為:

這個(gè)多項(xiàng)式是一個(gè)本原多項(xiàng)式,然后知道這個(gè)電路有一些有意思的性質(zhì),下面我以m = 3 來做個(gè)例子具體的電路圖如下所示:

假設(shè)開始的時(shí)候(D2,D1,D0 ) = (0,0,1),那么每過一個(gè)時(shí)鐘周期會(huì)進(jìn)行跳變一次,

可以看到具體的跳變?nèi)缦滤荆?/p>

然后我們可以看到這個(gè)計(jì)數(shù)器循環(huán)起來了,很好玩吧,無論進(jìn)入那樣一個(gè)狀態(tài)除了0之外,都可以循環(huán)著回來,其實(shí)這里就相當(dāng)于了一個(gè)3bit的偽隨機(jī)數(shù),很有意思,不是所有的多項(xiàng)式都有這個(gè)特性,我們現(xiàn)在在從數(shù)學(xué)上面來看看這個(gè)問題,其實(shí)最上面的電路是可以看成是一個(gè)除法電路,在Galois域的一個(gè)除法電路。現(xiàn)在假設(shè)的是R(x)是寄存器中剩余的數(shù)據(jù),M(x)是輸入的碼字多項(xiàng)式,然后數(shù)學(xué)公式可以表示成:

然后我分別計(jì)算出了M(x)的各種情況,

然后我們單獨(dú)進(jìn)行一下7次方的運(yùn)算

發(fā)現(xiàn)7次方的運(yùn)算和0次的時(shí)候的余數(shù)是一樣的

然后我們發(fā)現(xiàn)其實(shí)在上面的電路中對(duì)多項(xiàng)式的除法也是可以循環(huán)起來的,可以驗(yàn)證的是

把這個(gè)記成

上面的式子是可以循環(huán)的,然后我又想到了CRC的計(jì)算,CRC的計(jì)算也可以通過一個(gè)除法電路來實(shí)現(xiàn),

假設(shè)碼子多項(xiàng)式為

生成多項(xiàng)式為

那么CRC的碼字為

這樣我們同樣可以用LFSR電路來進(jìn)行實(shí)現(xiàn)

首先對(duì)M(x)乘以一個(gè)x的r次方,然后去去除G(x),在電路上的表現(xiàn)就是

所以在輸入碼字以后還需要多輸入r拍的0這樣才能使最后的CRC碼字?jǐn)?shù)據(jù)。

同理這個(gè)電路也可以進(jìn)行CRC校驗(yàn),把生成的數(shù)據(jù)全部都依次輸入進(jìn)這個(gè)。

關(guān)鍵詞: LFSR CRC 寄存器

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