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【胡不歸問題2】【最短時間】

試題內容

如圖,△ABC在平面直角坐標系中,AB=AC,A(0,2√2),C(1,0),D為射線AO上一點,一動點P從A出發,運動路徑為A→D→C,點P在AD上的運動速度是在CD上的3倍,要使整個過程運動時間最少,求點D的坐標.


(相關資料圖)

解法分析

作DE⊥AB于點E,設點P在ED、CD上的運動速度相等.

在三角形ABO中,AO=2√2,OB=OC=1,

所以AB=3,sin∠BAO=1/3,所以AD=3ED,

因為點P在AD上的運動速度是在ED上的3倍,

所以點P在ED、AD上的運動時間相等,

所以路徑ADC的運動時間等于路徑EDC的運動時間.

當C、D、E三點共線(即CE⊥AB于點E)時,運動路程最短,同時運動時間最短.

根據等面積法:AB×CE=BC×AO,解得:CE=(4√2)/3,

在直角三角形AEC中,利用勾股定理可得:AE=7/3,

因為AD=3ED,可設ED=x,AD=3x,

在直角三角形AED中,利用勾股定理可得:x=(7√2)/12,

所以yD=OA-3x=√2/4,即點D的坐標為:(0,√2/4).

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