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三線合一性質定理 三線合一性質


(資料圖片)

1、三線合一,指三角形頂角角平分線,底邊上的高,以及底邊上的中線重合,即三條線段合為一條。

2、三線合一的證明:已知:△ABC為等腰三角形,AB=AC,AD為中線。

3、求證:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD等腰三角形ABC(AB=AC)證明:在△ABD和△ACD中:{ BD=DC(等腰三角形的中線平分對應的邊)AB=AC(等腰三角形的性質)AD=AD(公共邊)∴△ADB≌△ADC(SSS)可得∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC(全等三角形對應角相等)∵∠ADB+∠ADC=∠BDC(已證),且∠BDC=180度(平角定義)∴∠ADB=∠ADC=90°(等量代換)∴AD⊥BC得證三線合一應用:① 如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的高重合,那么這個三角形是等腰三角形。

4、② 如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合,那么這個三角形是等腰三角形。

5、③ 如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的中線重合,那么這個三角形是等腰三角形。

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